По-перше, зазначені в запитанні слова за змістом не тотожні: перші два – піднімати, порушувати – означають «привернути увагу до якогось питання, справи, пропонувати їх для обговорення», а третє – розв’язувати – означає «вирішувати», з’ясовувати питання, справу». Порушення чи постановка питання ще не означає його розв’язання. Так що в один семантичний ряд ставити ці слова не можна.

По-друге, у сполученні із словами питання, проблема, справа, клопотання за нормами сучасної літературної мови, коли йдеться про значення «пропонувати для обговорення, розв’язання», вживають дієслово порушувати або його контекстуальні синоніми ставити, висувати, розпочинати і под. Проте вживання слова піднімати замість порушувати в сучасній літературній мові сприймається як стилістичне відхилення.

Отже, краще сказати: «письменник порушує проблеми…» або (з іншим значенням) «письменник розв’язує проблеми…»